Question

【题目】已知直线y=﹣x+2分别交x、y轴于点A、B，点C为线段OA的中点，动点P从坐标原点出发，以2个单位长度/秒的速度向终点A运动，动点Q从点C出发，以个单位长度/秒的速度向终点B运动．过点Q作QM∥AB交x轴于点M，动点P、Q同时出发，其中一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点P运动的时间为t秒，PM的长为y个单位长度．

（1）∠BCO= °；

（2）求y关于t的函数关系式及自变量t的取值范围；

（3）是否存在时间t，使得以PC为直径的⊙D与直线QM相切？若存在，求t的值；不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）45；（2）y=2﹣t（0≤t≤2）（3）当t=1﹣或t=1+时，以PC为直径的⊙D与直线QM相切

【解析】

试题分析：（1）先分别求得点A和点B的坐标，从而得到点C的坐标，从而得到OB=OC，于是可求得∠BCO的度数；

（2）先由相似三角形的性质得到CM的长，然后依据PM=CO+CM﹣OP可求得y与t的函数关系式；

（3）当点P在点C的左边时，可求得DM=1，由tan∠NMD=，可求得DN=，然后可求得DC=1﹣t，从而可求得t的值；当点P在点C的右侧时，可求得DC=t﹣1，DN=，从而可求得t的值．

解：（1）∵令y=0得﹣x+2=0，解得：x=4，

∴A（0，4）．

∴OA=4．

∵点C为线段OA的中点，

∴OC=2．

∵令x=0得：y=2，

∴B（0，2）．

∴OB=2．

∴OB=OC．

又∵∠BOC=90°，

∴∠BCO=45°．

故答案为：45．

（2）如图1所示：

∵OB=CO=2，∠BOC=90°，

∴BC=OB=2．

∵OA=4，OC=2，

∴AC=2．

设点P和点Q的运动时间为t，则OP=2t，QP=t．

∵QM∥AB，

∴，即，解得CM=t．

∴PM=CO+CM﹣OP=2+t﹣2t=2﹣t（0≤t≤2）．

∴y与t的函数关系是为y=2﹣t（0≤t≤2）．

（3）如图2所示：设N为切线，连接DN．

∵OP=2t，OC=2，

∴PC=2﹣2t．

∴PD=DC=1﹣t．

∴DM=PM﹣PD=2﹣t﹣（1﹣t）=1．

∵MQ是圆D的切线，

∴DN⊥QM．

∵OB=2，OA=4，

∴tan∠BAO=．

∵QM∥AB，

∴tan∠NMP=．

∴DN=DM=．

∴1﹣t=，解得：t=1．

如图3所示：设N为切线，连接DN．

∵OP=2t，OC=2，

∴PC=2t﹣2．

∴DC=DP=t﹣1．

∴DM=t﹣1+2﹣t=1．

∴DN=．

∴t﹣1=，解得：t=1+．

综上所述，当t=1﹣或t=1+时，以PC为直径的⊙D与直线QM相切．