Question

【题目】数学课上林老师出示了问题：如图，AD∥BC，∠AEF=90°，AD=AB=BC=DC，∠B=90°，点E是边BC的中点，且EF交∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．

同学们作了一步又一步的研究：

（1）经过思考，小明展示了一种解题思路：如图1，取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF，小明的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小颖提出一个新的想法：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（3）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】解：（1）正确．理由如下：

取AB的中点M，连接ME，

则AM=BM=AB，

∵AD=AB=BC=DC，

∴四边形ABCD是菱形，

∵∠B=90°，

∴四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，

∴∠DCG=90°，

∵CF平分∠DCG，

∴∠DCF=45°，

∴∠ECF=90°+45°=135°，

∵∠AEF=90°，

∴∠AEB+∠FEC=90°，

∵∠BAE+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠FEC，

∵点E是边BC的中点，

∴BE=EC=BC，

∴AM=EC=BM=BE，

∴△BME是等腰直角三角形，

∴∠BME=45°，

∴∠AME=135°=∠ECF，

在△AME和△ECF中，，

∴△AME≌△ECF（ASA），

∴AE=EF

（2）正确．理由如下：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME．

∵AB=BC，AM=EC，

∴BM=BE．

∴∠BME=45°．

∴∠AME=135°．

∵CF是外角平分线，

∴∠DCF=45°，

∴∠ECF=135°．

∴∠AME=∠ECF．

∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，

∴∠BAE=∠CEF．

在△AME和△ECF中，，

∴△AME≌△BCF．

∴AE=EF．

（3）正确．理由如下：在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE．

∵AB=BC，AN=CE，

∴BN=BE．

∴∠N=∠FCE=45°．．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥BE．

∴∠DAE=∠BEA．

∴∠NAE=∠CEF．

在△ANE和△ECF中，，

∴△ANE≌△ECF（ASA）．

∴AE=EF．