【题目】如图,点E是正方形ABCD外一点,点F是线段AE上一点,△EBF是等腰直角三角形,其中∠EBF=90°,连接CE、CF.
(1)求证:△ABF≌△CBE;
(2)判断△CEF的形状,并说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)△CEF是直角三角形
【解析】
(1)由正方形的性质、等腰三角形的性质可得AB=CB,BE=BF,再通过等量相减,即可得出∠ABF=∠CBE,由SAS即可证出△ABF≌△CBE;
(2)求∠CEF=90°,即可证出△CEF是直角三角形.
证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CB,∠ABC=90°,
∵△EBF是等腰直角三角形,其中∠EBF=90°,
∴BE=BF,
∴∠ABC﹣∠CBF=∠EBF﹣∠CBF,
∴∠ABF=∠CBE.
在△ABF和△CBE中,有 ,
∴△ABF≌△CBE(SAS).
(2)△CEF是直角三角形.理由如下:
∵△EBF是等腰直角三角形,
∴∠BFE=∠FEB=45°,
∴∠AFB=180°﹣∠BFE=135°,
又∵△ABF≌△CBE,
∴∠CEB=∠AFB=135°,
∴∠CEF=∠CEB﹣∠FEB=135°﹣45°=90°,
∴△CEF是直角三角形.
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【题目】如图1, 在 中,,.点O是BC的中点,点D沿B→A→C方向从B运动到C.设点D经过的路径长为,图1中某条线段的长为y,若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示,则这条线段可能是图1中的 ( )
图1 图2
A. B. C. D.
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【题目】如图①,在三角形ABC中,点E,F分别为线段AB,AC上任意两点,EG交BC于点G,交AC的延长线于点H,∠1+∠AFE=180°.
(1)证明:BC∥EF;
(2)如图②,若∠2=∠3,∠BEG=∠EDF,证明:DF平分∠AFE.
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【题目】综合与实践
(问题情境)
在综合与实践课上,同学们以“矩形的折叠”为主题展开数学活动,如图1,在矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=5,点E,F分别为边AB,AD上的点,且DF=3。
(操作发现)
(1)沿CE折叠纸片,B点恰好与F点重合,求AE的长;
(2)如图2,延长EF交CD的延长线于点M,请判断△CEM的形状,并说明理由。
(深入思考)
(3)把图2置于平面直角坐标系中,如图3,使D点与原点O重合,C点在x轴的负半轴上,将△CEM沿CE翻折,使点M落在点M′处.连接CM′,求点M′的坐标.
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【题目】某中学举行“校园好声音”歌手大赛,根据初赛成绩,初二和初三各选出5名选手组成初二代表队和初三代表队参加学校决赛。两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示:
平均数(分) | 中位数(分) | 众数(分) | |
初二 | 85 | ||
初三 | 85 | 100 |
(1)根据图示填写上表;
(2)结合两队成绩的平均数和中位数,分析哪个队的决赛成绩较好;
(3)计算两队决赛成绩的方差,并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定.
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【题目】如图,相距千米的两地间有一条笔直的马路,地位于两地之间且距地千米,小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时千米的速度向地匀速运动,当到达地后立即以原来的速度返回,到达地停止运动,设运动时间为(时),小明的位置为点.
(1)当时,求点间的距离
(2)当小明距离地千米时,直接写出所有满足条件的值
(3)在整个运动过程中,求点与点的距离(用含的代数式表示)
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是矩形,AD∥x轴,A(,),AB=1,AD=2.
(1)直接写出B、C、D三点的坐标;
(2)将矩形ABCD向右平移m个单位,使点A、C恰好同时落在反比例函数()的图象上,得矩形A′B′C′D′.求矩形ABCD的平移距离m和反比例函数的解析式.
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【题目】如图所示,点A,B,C是数轴上的三个点,其中AB=12,且A,B两点表示的数互为相反数.
(1)请在数轴上标出原点O,并写出点A表示的数;
(2)如果点Q以每秒2个单位的速度从点B出发向左运动,那么经过 秒时,点C恰好是BQ的中点;
(3)如果点P以每秒1个单位的速度从点A出发向右运动,那么经过多少秒时PC=2PB.
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【题目】如图,四边形ABCD是正方形,点P,Q分别在边AB,BC的延长线上且BP=CQ,连接AQ,DP交于点O,并分别与边CD,BC交于点F,E,连接AE,下列结论:①AQ⊥DP;②△OAE∽△OPA;③当正方形的边长为3,BP=1时,cos∠DFO=,其中正确结论的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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