Question

在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．
（1）如图1，△ABC是周长为9的等边三角形，则△AMN的周长Q=

 

；
（2）如图2，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是

 

；此时

Q

L

=

 

；
（3）点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：压轴题

分析：（1）构建全等三角形来实现线段的转换．延长AC至E，使CE=BM，连接DE．根据题意得到∠MBD=∠NCD=90°，那么三角形MBD和ECD中，有了一组直角，MB=CE，BD=DC，因此两三角形全等，那么DM=DE，∠BDM=∠CDE，∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．三角形MDN和EDN中，有DM=DE，∠EDN=∠MDN=60°，有一条公共边，因此两三角形全等，MN=NE，至此我们把BM转换成了CE，把MN转换成了NE，因为NE=CN+CE，因此NM=BM+CN．可根据L的值确定与Q的值；
（2）如果DM=DN，∠DMN=∠DNM，因为BD=DC，那么∠DBC=∠DCB=30°，也就有∠MBD=∠NCD=60+30=90°，直角三角形MBD、NCD中，因为BD=CD，DM=DN，根据HL定理，两三角形全等．那么BM=NC，∠BMD=∠DNC=60°，三角形NCD中，∠NDC=30°，DN=2NC，在三角形DNM中，DM=DN，∠MDN=60°，因此三角形DMN是个等边三角形，因此MN=DN=2NC=NC+BM，三角形AMN的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+MB+NC=AB+AC=2AB，三角形ABC的周长L=3AB，因此Q：L=2：3．
（3）如果DM≠DN，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换．延长AC至E，使CE=BM，连接DE．（1）中我们已经得出，∠MBD=∠NCD=90°，那么三角形MBD和ECD中，有了一组直角，MB=CE，BD=DC，因此两三角形全等，那么DM=DE，∠BDM=∠CDE，∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．三角形MDN和EDN中，有DM=DE，∠EDN=∠MDN=60°，有一条公共边，因此两三角形全等，MN=NE，至此我们把BM转换成了CE，把MN转换成了NE，因为NE=CN+CE，因此NM=BM+CN．Q与L的关系的求法同（1），得出的结果是一样的．

解答：（1）解：如图2，延长AC至E，使CE=BM，连接DE，
∵BD=CD，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠MBD=∠NCD=90°，
在△MBD与△ECD中，

BM=CE ∠MBD=∠ECD BD=CD

，
∴△MBD≌△ECD（SAS）．
∴DM=DE，∠BDM=∠CDE．
∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．
在△MDN与△EDN中，

DM=DE ∠MDN=∠EDN DN=DN

，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=NE=NC+BM，
∵△AMN的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+（NC+BM）=（AM+BM）+（AN+NC）=AB+AC=2AB，
等边△ABC的周长L=3AB=9，即AB=3，
则Q=6；
（2）解：如图，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN．
此时

Q

L

=

2

3

；
（3）猜想：（2）中的结论仍然成立，
证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE，
∵BD=CD，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠MBD=∠NCD=90°，
在△MBD与△ECD中，

BM=CE ∠MBD=∠ECD BD=CD

，
∴△MBD≌△ECD（SAS）．
∴DM=DE，∠BDM=∠CDE．
∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．
在△MDN与△EDN中，

DM=DE ∠MDN=∠EDN DN=DN

，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=NE=NC+BM，
∵△AMN的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+（NC+BM）=（AM+BM）+（AN+NC）=AB+AC=2AB，
等边△ABC的周长L=3AB，
∴

Q

L

=

2

3

．
故答案为：（1）6；（2）BM+NC=MN；

2

3

点评：此题考查了三角形全等的判定及性质，题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的，当题中没有明显的全等三角形时，我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所求条件相关的全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．