Question

【题目】已知四边形和四边形都是正方形，且.

（1）如图1，连接.求证：；

（2）如图2，将正方形绕着点旋转到某一位置时恰好使得，.求的度数；

（3）在（2）的条件下，当正方形的边长为时，请直接写出正方形的边长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）.

【解析】

(1)根据条件，证明，即可得到结论；

(2)连接，由，，得：，由，得：，，，进而，可得：，即可得到结论；

(3)过点G作GM⊥BC，交BC的延长线于点M，设CM=x，则GM=x，CG=x，在在RtBGM中，根据勾股定理，列出方程，即可求解.

（1）∵四边形和是正方形

∴，，，

∴，

在和中，

，

∴；

（2）连接，如图2，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

，

在和中，

∴，

∴，

∴，

∴是等边三角形，

∴；

（3）过点G作GM⊥BC，交BC的延长线于点M，如图2，

∵，

∴∠GCM=45°，

设CM=x，则GM=x，CG=x，

∵正方形的边长为，

∴BC=，BG=BD=2，

∵在RtBGM中，BM2+GM2=BG2，

∴，解得：，（舍）

∴，

即：正方形的边长是：.