Question

【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有_____．

①abc＞0

②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3

③2a+b=0

④当x＞0时，y随x的增大而减小

Answer 1

【答案】②③

【解析】由函数图象可得抛物线开口向下，得到a＜0，又对称轴在y轴右侧，可得b＞0，根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，得到c＞0，进而得到abc＜0，结论①错误；由抛物线与x轴的交点为（3，0）及对称轴为x=1，利用对称性得到抛物线与x轴另一个交点为（﹣1，0），进而得到方程ax2+bx+c=0的两根分别为﹣1和3，结论②正确；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到2a+b=0，结论③正确；由抛物线的对称轴为直线x=1，得到对称轴右边y随x的增大而减小，对称轴左边y随x的增大而增大，故x大于0小于1时，y随x的增大而增大，结论④错误．

∵抛物线开口向下，∴a＜0，

∵对称轴在y轴右侧，∴＞0，∴b＞0，

∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c＞0，

∴abc＜0，故①错误；

∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），又对称轴为直线x=1，

∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），

∴方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3，故②正确；

∵对称轴为直线x=1，∴=1，即2a+b=0，故③正确；

∵由函数图象可得：当0＜x＜1时，y随x的增大而增大；

当x＞1时，y随x的增大而减小，故④错误；

故答案为②③．