Question

4．如图，已知，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，M、N分别为AC、BC的中点，点D在BM的延长线上，且BD=2BM，点E在NA延长线上，且EN=2AN．
（1）连接AD，线段AD与线段BC的大小关系是AD=BC．
（2）证明（1）中的结论；
（3）求证：BD⊥ED．

Answer 1

分析 （1）连接AD，可得AD=BC；
（2）由BG=2BM，得到BM=DM，再由M为AC中点，得到AM=CM，再由对顶角相等，利用SAS得到三角形ADM与三角形CBM全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（3）延长ED交BC延长线于点F，过D作DG垂直于CF，由EN=2AN，得到A为EN的中点，再由AD与NF平行，得到D为EF中点，即AD为中位线，利用中位线定理得到AD等于NF的一半，利用等量代换得到GF=AM，利用SAS得到三角形ADM与三角形DFG全等，利用全等三角形对应角相等得到∠ADB=∠FDG，由∠ADG为直角，利用等量代换及垂直的定义变形即可得证．

解答 解：（1）连接AD，可得AD=BC；
故答案为：AD=BC；
（2）证明：∵BD=2BM，
∴BM=DM，
∵M为AC的中点，
∴AM=CM，
在△ADM和△CBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=CM}\\{∠AMD=∠CMB}\\{DM=BM}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△CBM（SAS），
∴AD=BC；
（3）延长ED交BC的延长线于点F，作DG⊥BF于G，
∵EN=2AN，
∴A为EN的中点，
由（2）得到AD∥BC，
∴D为EF的中点，
∴AD∥NF，且AD=$\frac{1}{2}$NF，
在Rt△ABC中，AC=BC，
∴AC=BC=AD，
∴四边形ACGD为正方形，
∴AD=CG，
∵AD=$\frac{1}{2}$NF，
∴NC+GF=AD=AC①，
∵NC=$\frac{1}{2}$BC，MC=$\frac{1}{2}$AC，且AC=BC，
∴NC=MC=AM，
∴NC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AD②，
由①②可得GF=$\frac{1}{2}$AD=NC=AM，
在△AMD和△GFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DG}\\{∠DAM=∠DGF=90°}\\{AM=GF}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△GFD（SAS），
∴∠ADB=∠FDG，
∵∠ADG=90°，
∴∠FDG+∠ADE=90°，
∴∠ADB+∠ADE=90°，即∠BDE=90°，
则BD⊥ED．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，中位线定理，平行线等分线段定理，以及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．