Question

已知：在△ABC中，∠ABC=45°，点D是BC上一点，∠ADB=120°且CD=2BD，将△ADC沿着AD翻折，点C落在点E处．
（1）求证：BE⊥BC；
（2）求∠C的度数．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,角平分线的性质,等边三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：（1）取DE的中点M，连接BM，如图1，根据邻补角的定义由∠ADB=120°得∠ADC=60°，再根据折叠的性质得DE=DC，∠ADE=∠ADC=60°，则∠BDE=60°，由于CD=2BD，则DE=2BD，DM=DB，原式可判断△BDM为等边三角形，得到EM=BM=MD，根据圆周角定理的推理得到△BDE为直角三角形，即BE⊥BC；
（2）作AF⊥BC于F，AG⊥DE于G，AH⊥BE于H，如图2，由∠ABC=45°，可判断四边形AFBH为正方形，根据正方形的性质得AF=AH，再根据角平分线的性质由DA平分∠EDC得到AF=AG，则可根据“HL”证明Rt△AHE≌Rt△AGE，Rt△ADG≌Rt△ADF，得到∠3=∠2，∠DAG=∠4，所以∠2+∠DAG=

1

2

∠FAH=45°，即∠DAE=45°，然后利用三角形内角和计算出∠1=75°，最后利用折叠的性质得到∠C=∠1=75°．

解答：解：（1）取DE的中点M，连接BM，如图1，
∵∠ADB=120°，
∴∠ADC=60°，
∵△ADC沿着AD翻折，点C落在点E处，
∴DE=DC，∠ADE=∠ADC=60°，
∴∠BDE=60°，
∵CD=2BD，
∴DE=2BD，
∴DM=DB，
∴△BDM为等边三角形，
∴BM=DM，
即EM=BM=MD，
∴△BDE为直角三角形，
∴BE⊥BC；
（2）作AF⊥BC于F，AG⊥DE于G，AH⊥BE于H，如图2，
则四边形AFBH为矩形，
∵∠ABC=45°，
∴四边形AFBH为正方形，
∴AF=AH，
∵∠ADC=∠ADE，即DA平分∠EDC，
∴AF=AG，
在Rt△AHE和Rt△AGE中

AH=AG AE=AE

，
∴Rt△AHE≌Rt△AGE（HL），
∴∠3=∠2，
同理可得Rt△ADG≌Rt△ADF，
∴∠DAG=∠4，
∴∠2+∠DAG=

1

2

∠FAH=45°，即∠DAE=45°，
∴∠1=180°-∠DAE-∠ADE=75°，
∵△ADC沿着AD翻折，点C落在点E处，
∴∠C=∠1=75°．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了角平分线的性质、等边三角形的判定与性质和直角三角形的判定方法．