Question

如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，求AC的长．

Answer 1

解：∵△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，
∴∠2=∠3=30°；
在Rt△BCD中，
CD=BD，∠4=90°-30°=60°（直角三角形的两个锐角互余）；
∴∠1+∠2=60°（外角定理），
∴∠1=∠2=30°，
∴AD=BD（等角对等边）；
∴AC=AD+CD=AD；
又∵AD=6，
∴AC=9．
分析：根据角平分线的定义求得∠2=∠3=30°，从而求得直角三角形BCD的直角边CD是斜边BD长度的一半；然后由三角形的外角定理知∠4=∠1+∠2，所以∠1=∠2=30°，根据等角对等边可知AD=BD；最后根据图示、等量代换求得AC=AD=9．
点评：本题考查了角平分线的定义、含30度角的直角三角形、等腰三角形的判定与性质．在直角三角形中，30度角所对的是直角边是斜边的一半．