Question

15．已知抛物线y=ax²+bx+c与双曲线y=$\frac{{k}^{2}}{x}$有三个交点A（-4，m）、B（-2，n）、C（3，p）．则不等式ax³+bx²+cx-k²＞0的解集为0＜x＜3或-4＜x＜-2．

Answer 1

分析 根据非负数的性质判断出反比例函数图象位于第一、三象限，再根据交点坐标判断出二次函数图象开口向上且对称轴在y轴左边，然后写出二次函数图象在反比例函数图象上方部分的x的取值范围即可．

解答 解：∵k²＞0，
∴反比例函数图象位于第一、三象限，
∵抛物线与双曲线交点为A（-4，m）、B（-2，n）、C（3，p）．
∴抛物线开口向上且对称轴在y轴左边，如图所示，
x＞0时，不等式两边同除以x并移项得，ax²+bx+c＞$\frac{{k}^{2}}{x}$，
所以，不等式的解集是x＞3，
x＜0时，不等式两边同除以x并移项得，ax²+bx+c＜$\frac{{k}^{2}}{x}$，
所以，不等式的解集是-4＜x＜-2，
综上所述，不等式的解集是0＜x＜3或-4＜x＜-2．
故答案为：x＞3或-4＜x＜-2．

点评 本题考查了二次函数与不等式，熟练掌握反比例函数与二次函数图象的性质是解题的关键，要注意根据x的取值范围分情况讨论，作出图形更形象直观．