Question

4．等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是斜边AB上一点，以CD为直角边作等腰Rt△CDE，其中∠DCE=90°，CD=CE，直线BC、DE交于点F．
（1）如图1，若CD=DF，求证：AD=（$\sqrt{2}$-1）BD；
（2）如图2，若BD=2AD，判断DF与EF之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，当点D在BA的延长线上时，若AB=kAD，则DF=（k+1）EF．（用含k的式子表示）

Answer 1

分析 （1）先利用等腰直角三角形的性质和勾股定理可以求得AB=$\sqrt{2}$BC，然后再根据CD=DF可得出∠CFD=∠DCF，进而可得∠BDC=∠DCF，则有BC=BD，于是可得出结论；
（2）根据各角之间的关系可证得△CEF∽△CAD，△BCD∽△DCF，则有$\frac{DF}{BD}=\frac{CE}{CA}，\frac{EF}{AD}=\frac{CD}{CB}$，再根据CE=CD，CA=CB，可得$\frac{DF}{BD}=\frac{EF}{AD}$，则可得出$\frac{EF}{DF}=\frac{1}{2}$；（3）首先证明△CAD∽△CEF，△BCA∽△ECA，根据相似三角形的对应边的比相等即可证得$\frac{AD}{EF}=\frac{AB}{CD}$，从而求解．

解答 解：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC
∴根据勾股定理可得AB=$\sqrt{2}$BC，∠B=∠A=45°，
∵CD=DF，等腰Rt△CDE，
∴∠CFD=∠DCB，∠E=∠CDE=45°，
∵∠CFD=∠BDF+∠B=∠BDF+45°，∠CDB=∠BDF+∠CDE=∠BDF+45°，
∴∠CFD=∠CDB，
∴∠DCB=∠CDB，
∴BD=BC，
∴AD=AB-BD=$\sqrt{2}$BD-BD=（$\sqrt{2}$-1）BD；
（2）DF=2EF．
证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，
∴∠ECB=∠ACD，
由（1）知∠B=∠A=∠E=∠CDE=45°，∠CFD=∠CDB，
∴△CEF∽△CAD，△BCD∽△DCF，
∴$\frac{DF}{BD}=\frac{CE}{CA}，\frac{EF}{AD}=\frac{CD}{CB}$，
∵CE=CD，CA=CB，
∴$\frac{DF}{BD}=\frac{EF}{AD}$
∴$\frac{DF}{EF}=\frac{BD}{AD}=\frac{1}{2}$
（3）解：∵△BCA和△ECD都是等腰直角三角形，
∴得∠FCE=∠ACD，∠CEF=∠CAD=135°，
∴△CAD∽△CEF
∴$\frac{AD}{EF}=\frac{CA}{CE}$
又∵△BCA∽△ECA，
∴$\frac{BA}{ED}=\frac{CA}{CD}=\frac{CA}{CE}$
∴$\frac{AD}{EF}=\frac{AB}{ED}$
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{EF}{DE}$
又∵AB=kAD，
∴DE=kEF，
∴DF=（k+1）EF．

点评 本题考查的是等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，（3）中由相似三角形的对应边的比相等，再根据等量代换得到$\frac{AD}{EF}=\frac{AB}{ED}$是关键．