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【题目】Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC:BC=4:3,O是BC上一点,⊙O交AB于点D,交BC延长线于点E.连接ED,交AC于点G,且AG=AD.

(1)求证:AB与⊙O相切;

(2)设⊙O与AC的延长线交于点F,连接EF,若EF∥AB,且EF5,求BD的长.

【答案】(1)证明见解析(2)

【解析】分析:(1)连结OD,∠ACB=90°,可得∠OED+∠EGC=90°,再由OD=OE,根据等腰三角形的性质可得∠ODE=∠OED,再因AG=AD,根据等腰三角形的性质可得∠ADG=∠AGD ,由∠OED+∠EGC=∠ADG+∠ODE=∠ADO=90°,可得OD⊥AB ,所以AB⊙O的切线;(2)连接OF,由EF∥AB,AC:BC=4:3,可得CF:CE=4:3.Rt△ECF中,EF=5,求得CF=4,CE=3.设半径=r,则OF=r,CF=4,CO=r-3.

Rt△OCF中,由勾股定理求得r=再证得△CEF∽△DBO,根据相似三角形的性质可得由此求得BD=

详解:

(1)证明:连结OD

∵∠ACB=90°,

∴∠OED+∠EGC=90°,

∴OD=OE,

∴∠ODE=∠OED,

∵AG=AD,

∴∠ADG=∠AGD ,

∵∠AGD=∠EGC,

∴∠OED+∠EGC=∠ADG+∠ODE=∠ADO=90°,

∴OD⊥AB ,

∵OD为半径,

∴AB⊙O的切线

(2)连接OF.

∵EF∥AB,AC:BC=4:3,

∴CF:CE=4:3.

∵EF=5,

∴CF=4,CE=3.

设半径=r,则OF=r,CF=4,CO=r-3.

Rt△OCF中,由勾股定理,可得r=

∵EF∥AB,

∴∠CEF=∠B,

∴△CEF∽△DBO,

∴BD=

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