Question

6．如图，在?ABCD中，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，E，F分别是BC，AD上的两点，且BE=DF，连AE，BF，DE，CF分别交于点G，H．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形．
（2）若E，F分别是BC，AD上的两个动点，设BE=DF=x，试推断当x等于多少时，四边形GEHF是矩形．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证明四边形FBED是平行四边形，得出BF∥ED，同理：四边形AECF是平行四边形，得出AE∥FC，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出∠BAD=120°，证明△ABE是等边三角形，得出BE=DF=AB=2，证出AB=AF，得出∠ABG=∠AFG=30°，证出∠EGF=90°，即可得出四边形GEHF是矩形．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴BE∥DF，
∵BE=DF，
∴四边形FBED是平行四边形，
∴BF∥ED，即GF∥EH，
同理：四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥FC，
即GE∥FH，
∴四边形GEHF是平行四边形；
（2）解：当AE平分∠BAD，CF平分∠BCD时，BE=DF=2，四边形GEHF是矩形；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=180°-∠ABC=180°-60°=120°，
∴∠ABC=∠BAC=∠AEB=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=DF=AB=2，
∴AF=CE=BC-BE=4-2=2，
∴AB=AF，
∴∠ABG=∠AFG=30°，
∴∠AGB=90°，
∴∠EGF=90°，
∴四边形GEHF是矩形；
即当x=2时，四边形GEHF是矩形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．