Question

8．如图1，AM是圆O的直径，BC为圆O的弦，AM⊥BC，垂足为N，CD为圆O的弦，CD交AM于点E，交AB于点F，CD=AB，连接BD．
（1）求证：∠BDC=2∠BAM；
（2）如图2，若CD⊥AB，连接BE，求证：EN=MN；
（3）在（2）的条件下，若AB=$\sqrt{2}$，求△BDE的面积．

Answer 1

分析 （1）连接AC，由垂径定理得出BN=CN，$\widehat{BM}=\widehat{CM}$，由圆周角定理证出∠BAM=∠CAM，∠BDC=∠BAC，即可得出结论；
（2）由角的互余关系得出∠BAM=∠BCF，由圆周角定理得出∠BAM=∠BCM，证出∠BCF=∠BCM，由三角形内角和定理得出∠CEM=∠CME，证出CE=CM，由等腰三角形的性质即可得出结论；
 （3）证明△BDE是等腰直角三角形，设DF=EF=BF=x，则CE=BE=$\sqrt{2}$x，由CD=AB=$\sqrt{2}$得出方程，解方程求出BF=DF=EF=$\sqrt{2}$-1，DE=2$\sqrt{2}$-2，即可求出△△BDE面积．

解答 （1）证明：连接AC，如图所示：
∵AM⊥BC，
∴BN=CN，$\widehat{BM}=\widehat{CM}$，
∴∠BAM=∠CAM，
∵∠BDC=∠BAC，
∴∠BDC=2∠BAM；
（2）证明：∵CD⊥AB，AM⊥BC，
∴∠BFC=∠ANB═90°，
∴∠FBC+∠BCF=90°，∠FBC+∠BAN=90°，
∴∠BAM=∠BCF，
∵∠BAM=∠BCM，
∴∠BCF=∠BCM，
∵∠ANC=∠MNC=90°，
∴∠CEM=∠CME，
∴CE=CM，
∴EN=MN； 
（3）解：∵AM⊥BC，BN=CN，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∴∠BED=∠EBC+∠ECB=2∠ECB，
∵∠BDC=2∠BAM，∠BAM=∠BCE，
∴∠BDC=∠BED，
∴BD=BE，
∵CD⊥AB，
∴DF=EF，
∵CD=AB，
∴$\widehat{CD}=\widehat{AB}$，
∴$\widehat{BC}=\widehat{AD}$，
∴∠D=∠ABD，
∴DF=BF=EF，
∴∠DBE=90°，△BDE是等腰直角三角形，
设DF=EF=BF=x，则CE=BE=$\sqrt{2}$x，
∵CD=AB=$\sqrt{2}$，
∴x+x+$\sqrt{2}$x=$\sqrt{2}$，
解得：x=$\sqrt{2}$-1，
∴BF=DF=EF=$\sqrt{2}$-1，DE=2$\sqrt{2}$-2，
∴△△BDE面积=$\frac{1}{2}$DE•BF=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{2}$-2）×（$\sqrt{2}$-1）=3-$2\sqrt{2}$．

点评 本题是圆的综合题目，考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解决问题的关键．