Question

【题目】已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．

（1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；

（2）如图②，若直线CD是⊙O的切线，求证：D为AP的中点．

Answer 1

【答案】（1）55°（2）见解析

【解析】

（1）易证PA⊥AB，再通过解直角三角形求解；
（2）连接OC、AC，证出OC⊥CD，AB⊥AP，根据半径所对应的角相等即可证明CD= AD；根据AB是O的直径，得出∠BCA=90°，再根据两个角相加为90°，即可证明CD= DP，从而得出结论

（1）∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线

∴PA⊥AB

∴∠BAP=90°

∵∠P=35°

∴∠ABP=∠BAP-∠P=90°-35°=55°

故答案为：55°

(2)如图，连接OC、AC

∵CD是⊙O的切线

∴OC⊥CD

∴∠1+∠3=90°

∵AP是⊙O的切线

∴AB⊥AP

∴∠2+∠4=90°

∵OA= OC

∴∠1=∠2

∴∠3=∠4

∴ CD= AD

∵AB是O的直径，

∴∠BCA=90°

∴∠DCP+∠3=90°

∠CPA+∠4=90°

∴∠DCP=∠CPA

∴CD= DP

∴CD= DP=AD

∴D为AP的中点