Question

【题目】已知：二次函数y=2x2+4x+m﹣1，与x轴的公共点为A，B．
（1）如果A与B重合，求m的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点； ①当m=1时，求线段AB上整点的个数；
②若设抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）整点的个数为n，当1＜n＜8时，结合函数的图象，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A与B重合，

∴二次函数y=2x2+4x+m﹣1的图象与x轴只有一个公共点，

∴方程2x2+4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，

∴△=42﹣4×2（m﹣1）=24﹣8m=0，

解得：m=3．

∴如果A与B重合，m的值为3．

（2）解：①当m=1时，原二次函数为y=2x2+4x+m﹣1=2x2+4x，

令y=2x2+4x=0，则x1=0，x2=﹣2，

∴线段AB上的整点有（﹣2，0）、（﹣1，0）和（0，0）．

故当m=1时，线段AB上整点的个数有3个．

②由点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）可用以下不等式表示

如图，

对于二次函数y=2x2+4x+m﹣1，可知对称轴x=﹣1，

∵抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）整点的个数为n，且1＜n＜8，

∴x=0时，y≤0；x=3时，y＞0；

则有 ，

解得：﹣29＜m≤1．

【解析】（1）当A、B重合时，抛物线与x轴只有一个交点，此时△=0，从可求出m的值．（2）①m=1代入抛物线解析式，然后求出该抛物线与x轴的两个交点的坐标，从而可求出线段AB上的整点；②根据二次函数表达式可以用带m表达出两根之差，根据1＜两根之差＜8，即可解题．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用抛物线与坐标轴的交点的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．