Question

【题目】如图，△ABC和△DEF均是边长为4的等边三角形，△DEF的顶点D为△ABC的一边BC的中点，△DEF绕点D旋转，且边DF、DE始终分别交△ABC的边AB、AC于点H、G，图中直线BC两侧的图形关于直线BC成轴对称．连结HH′、HG、GG′、H′G′，其中HH′、GG′分别交BC于点I、J．

（1）求证：△DHB∽△GDC；

（2）设CG=x，四边形HH′G′G的面积为y，

①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围．

②求当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？

Answer 1

【答案】(1)证明详见解析；(2)①y=（+x）（4﹣﹣）（1≤x≤4）；②x=2时，=.

【解析】

试题分析：（1）由等边三角形的特点得到相等关系即可；

（2）由相似三角形得到，再结合对称，表示出相关的线段，四边形HH′G′G的面积为y求出即可．

试题解析：（1）在正△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠BHD+∠BDH=120°，

在正△DEF中，∠EDF=60°，

∴∠GDC+∠BDH=120°，

∴∠BHD=∠GDC，

∴△DHB∽△GDC，

（2）①∵D为BC的中点，

∴BD=CD=2，

由△DHB∽△GDC，

∴，

即：，

∴BH=，

∵H，H′和G，G′关于BC对称，

∴HH′⊥BC，GG′⊥BC，

∴在RT△BHI中，BI=BH=，HI=BH=，

在RT△CGJ中，CJ=CG=，GJ=CG=，

∴HH′=2HI=，GG’=2GJ=x，IJ=4﹣﹣，

∴y=（+x）（4﹣﹣）（1≤x≤4）；

②由①得，y=，

设=a，得y=，

当a=4时，=，

此时=4，解得x=2．