Question

7．如图，AB是半圆O的直径，射线AM、BN分别与半圆O相切于点A、B，点E在半圆上，点D在射线AM上，连接DE并延长交射线BN于点C，连接AE并延长交射线BN于点G．
（1）若点C为BG的中点，求证：CD与⊙O相切；
（2）在满足（1）的条件下，若AB=12，AD=x，BC=y．
①求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
②当x为何值时，四边形OBCE为正方形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接BE，OE，由已知条件证明OE⊥CD即可证明CD与⊙O相切；
（2）①过点D作DF⊥BG于F，构建矩形ABFD．根据切线长定理得到AD=BF=x，CE=BC=y，则在直角△DFC中，利用勾股定理即可得到y与x的函数关系式；
②若四边形OBCE为正方形，则OE∥AD∥BC，OB∥CE，所以此时四边形ABCD是矩形，即AD=BC，结合①中的函数关系式即可求出x的值．

解答 解：
（1）证明：
连接BE，OE，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠AEB=∠BEG=90°，
∴∠OEB+∠BEC=90°，
∵点C为BG的中点，
∴BC=CE=CG=$\frac{1}{2}$BG，
∴∠CBE=∠CEB，
∵OB=OE，
∴∠OEB=∠OBE，
∵BN是圆的切线，AB为直径，
∴AB⊥BG，
∴∠OBE+∠EBC=90°，
∴∠OEB+∠BEC=90°，
即OE⊥DC，
∴CD与⊙O相切；
（2）①过点D作DF⊥BG于F，则四边形ADFB是矩形，
∴AD=BF=x，AB=DF=12，
∵AB、CD、BC均与圆O相切，
∴BC=CE=y，AD=DE=x，
∴DC=DE+CE=x+y，CF=BC-BF=y-x，
∴在直角△BFC中，DC²=FC²+DF²，即（x+y）²=（y-x）²+12²，
∴y=$\frac{36}{x}$，
即y与x的函数关系式是y=$\frac{36}{x}$；
②当x=6时，四边形OBCE为正方形，理由如下：
∵四边形OBCE为正方形，
∴OE∥AD∥BC，OB∥CE，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，
即x=y，
∵y=$\frac{36}{x}$
∴x=6．

点评 此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：切线的性质与判定、勾股定理的运用、矩形的判断和性质、正方形的判定、直角三角形斜边上的中线的性质以及反比例函数关系的确定，题目的综合性较强，难度中等，其中作出相应的辅助线是解本题的关键．