Question

【题目】如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接、，且点是线段的中点，连接．

（1）如图2，点是直线上方抛物线上的一动点，在线段上有一动点，连接、、，当面积最大时，求的最小值；

（2）将过点的直线绕点旋转，设旋转中的直线分别与直线、直线交于点、，当为等腰三角形时，直接写出的长．

Answer 1

【答案】（1）的最小值为；（2）当为等腰三角形时，的长为或或．

【解析】

（1）首先求出点A、B、C、D的坐标及直线CD解析式，然后连接PC，PD，过点P作PH∥x轴交CD于H，设P（x，），则H（，），列出面积的二次函数表达式，根据二次函数的性质求出面积的最大值及此时P点的坐标，过点D作DE⊥BC于E，求出sin∠DCE＝，再过点Q作QF⊥CD于F，根据sin∠QCF＝，可得，则，进而得到当P、Q、F三点共线时，的值最小，此时PF⊥CD，PF为的最小值，最后利用面积法求出PF即可；

（2）当CM＝CN时，过点M作MG∥x轴，可得△CGM∽△COA，设GM＝3a，则CG＝4a，CM＝5a，根据CM＝CN可求出GN＝a，然后由平行得出△MGN∽△DON，根据相似三角形的性质求出ON，即可得到CM＝CN的值，当CM＝MN和CN＝MN时，同理可得答案．

解：（1）在抛物线中，令y＝0，即，

解得：，，

∴B（－4，0），A（3，0），

令x＝0，则，

∴C（0，4），

∵点是线段的中点，

∴D（－2，0），

设直线CD解析式为：y＝kx＋4（k≠0），

代入（－2，0）得：0＝－2k＋4，

解得：k＝2，

∴直线CD解析式为：y＝2x＋4，

如图，过点P作PH∥x轴交CD于H，

设P（x，），则H（，），

∴PH＝，

∴，

∴当x＝时，面积的最大值为，

把x＝代入得：，

∴P（，），

∵OB＝OC＝4，

∴∠CBO＝45°，

过点D作DE⊥BC于E，则△BED是等腰直角三角形，

∵BD＝2，

∴BE＝DE＝，

∵CD＝，

∴在Rt△DCE中，sin∠DCE＝，

过点Q作QF⊥CD于F，

在Rt△QCF中，sin∠QCF＝，

∴，

∴，

∴当P、Q、F三点共线时，的值最小，此时PF⊥CD，PF为的最小值，

∴，

∴，

即当面积最大时，的最小值为；

（2）由（1）知，OA＝3，OC＝4，

∴AC＝5，

如图，当CM＝CN时，过点M作MG∥x轴，

则△CGM∽△COA，

∴，即，

设GM＝3a，则CG＝4a，CM＝5a，

∴CN＝CM＝5a，

∴GN＝a，

∵MG∥AD，

∴△MGN∽△DON，

∴，

∵OD＝2，

∴ON＝，

∴CM＝CN＝；

当CM＝MN时，同理可得CM＝，

当CN＝MN时，同理可得CM＝，

综上所述，当为等腰三角形时，的长为或或．