Question

17．已知：如图，第一象限内的点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且cot∠ACB=$\frac{2}{3}$
求：（1）反比例函数的解析式；
（2）点C的坐标；
（3）∠ABC的余弦值．

Answer 1

分析 （1）待定系数法求解可得；
（2）作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，根据cot∠ACB=$\frac{2}{3}$=$\frac{CF}{AF}$得AF=3，即可知EF，从而得出答案；
（3）先求出点B的坐标．继而由勾股定理得出AB的长，最后由三角函数可得答案．

解答 解：（1）设反比例函数解析式为y=$\frac{k}{x}$，
将点A（2，4）代入，得：k=8，
∴反比例函数的解析式y=$\frac{8}{x}$；

（2）过点A作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，

∵cot∠ACB=$\frac{2}{3}$=$\frac{CF}{AF}$，
∴AF=3，
∴EF=1，
∴点C的坐标为（0，1）；

（3）当y=1时，由1=$\frac{8}{x}$可得x=8，
∴点B的坐标为（1，8），
∴BF=BC-CF=6，
∴AB=$\sqrt{B{F}^{2}+A{F}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴cos∠ABC=$\frac{BF}{AB}$=$\frac{6}{3\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．