Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，点D为BC上一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE，且AE＝DE．

（1）求证：∠AEC＝∠C；

（2）若AE＝8.5，AD＝8，求△ABE的周长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）△ABE的周长为32.

【解析】

（1）根据△ABD是直角三角形,利用斜边中线等于斜边一半得到AE＝BD，进而得到AE=BE,再用外角的性质得到∠AEC =2∠B,等量代换即可解题,

（2）利用勾股定理求出AB的长,即可解题.

（1）∵AD⊥AB，∴△ABD为直角三角形，

又∵点E是BD的中点，

∴AE＝BD，

又∵BE＝BD，

∴AE=BE，∴∠B=∠BAE，

又∵∠AEC=∠B+∠BAE，

∴∠AEC=∠B+∠B=2∠B，

又∵∠C=2∠B，∴∠AEC=∠C；

（2）在Rt△ABD中，AD＝8，BD＝2AE＝2×8.5＝17，

∴AB＝＝15，

∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝15+8.5+8.5＝32