Question

已知0≤x≤1时，函数f（x）=x²-ax+a²的最小值为m．
（1）求m的值；（用含a的式子表示）
（2）求m的最大值．

Answer 1

考点：二次函数的最值

专题：

分析：（1）先配方得到f（x）=（x-

a

2

）²+

3

4

a²，则抛物线的对称轴为直线x=

a

2

，而抛物线开口向上，根据二次函数的性质讨论：当0≤

a

2

≤1时，m=

3

4

a²；当

a

2

≤0时，m=f（0）=a²；当

a

2

≥1，m=f（1）=a²-a+1；
（2）分段求最大值：当0≤a≤2，对于m=

3

4

a²，m的最大值为3；当a≤0，m没有最大值；当a≥2，m=a²-a+1=（a-

1

2

）²+

3

4

，a=2时，m有最大值3．

解答：解：（1）f（x）=x²-ax+a²
=（x-

a

2

）²+

3

4

a²，
抛物线的对称轴为直线x=

a

2

，抛物线开口向上，
当0≤

a

2

≤1时，即0≤a≤2，m=

3

4

a²；
当

a

2

≤0时，即a≤0，m=f（0）=a²；
当

a

2

≥1，即a≥2，m=f（1）=a²-a+1；
（2）当0≤

a

2

≤1时，即0≤a≤2，对于m=

3

4

a²，m的最大值为3；
当

a

2

≤0时，即a≤0，对于m=a²，m没有最大值；
当

a

2

≥1，即a≥2，m=a²-a+1=（a-

1

2

）²+

3

4

，a=2时，m有最大值3．

点评：本题考查了二次函数y=ax²+bx+c的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-

b

2a

时，y=

4ac-b2

4a

；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=-

b

2a

时，y=

4ac-b2

4a

．