已知:如图1.点A.O.B依次在直线MN上.现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转.同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转.如图2.设旋转时间为t．(1)用含t的代数式表示∠MOA的度数．(2)在运动过程中.当∠AOB第二次达到60°时.求t的值．(3)在旋转过程中是否存在这样的t.使得射线OB是由射线OM.射线OA.射线ON中的其中两条组� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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2．已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤t≤90秒）．
（1）用含t的代数式表示∠MOA的度数．
（2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值．
（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．

分析（1）∠AOM的度数等于OA旋转速度乘以旋转时间；
（2）当∠AOB第二次达到60°时，射线OB在OA的左侧，根据∠AOM+∠BON-∠MON=60°列方程求解可得；
（3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有三种情况：
①OB两次平分∠AOM时，根据$\frac{1}{2}$∠AOM=∠BOM，列方程求解，
②OB两次平分∠MON时，根据∠BOM=$\frac{1}{2}$∠MON，列方程求解，
③OB平分∠AON时，根据∠BON=$\frac{1}{2}$∠AON，列方程求解．

解答解：（1）∠MOA=2t；

（2）如图，

根据题意知：∠AOM=2t，∠BON=4t，
当∠AOB第二次达到60°时，∠AOM+∠BON-∠MON=60°，
即2t+4t-180=60，解得：t=40，
故t=40秒时，∠AOB第二次达到60°；

（3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况：
①OB平分∠AOM时，∵$\frac{1}{2}$∠AOM=∠BOM，
∴t=180-4t，
解得：t=36；
②OB平分∠MON时，∵∠BOM=$\frac{1}{2}$∠MON，即∠BOM=90°，
∴4t=90，或4t-180=90，
解得：t=22.5，或t=67.5；
③OB平分∠AON时，∵∠BON=$\frac{1}{2}$∠AON，
∴4t=$\frac{1}{2}$（180-2t），或180-（4t-180）=$\frac{1}{2}$（180-2t），
解得：t=18或t=90（不符合题意，舍去）；
综上，当t的值分别为18、22.5、36、67.5秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线．

点评本题主要考查角的计算和角平分线性质的运用，OB为角平分线时分类讨论是解题的关键和难点．

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