【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,F是⊙O上一点,∠BAF的平分线交⊙O于点E,交⊙O的切线BC于点C,过点E作ED⊥AF,交AF的延长线于点D.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若DE=3,CE=2,
①求值;
②若点G 为AE上一点,求OG+EG最小值.
【答案】(1)证明见解析(2)① ②3
【解析】
(1)作辅助线,连接OE.根据切线的判定定理,只需证DE⊥OE即可;
(2)①连接BE.根据BC、DE两切线的性质证明△ADE∽△BEC;又由角平分线的性质、等腰三角形的两个底角相等求得△ABE∽△AFD,所以;
②连接OF,交AD于H,由①得∠FOE=∠FOA=60°,连接EF,则△AOF、△EOF都是等边三角形,故四边形AOEF是菱形,由对称性可知GO=GF,过点G作GM⊥OE于M,则GM=EG,OG+EG=GF+GM,根据两点之间线段最短,当F、G、M三点共线,OG+EG=GF+GM=FM最小,此时FM =3.故OG+EG最小值是3.
(1)连接OE
∵OA=OE,∴∠AEO=∠EAO
∵∠FAE=∠EAO,∴∠FAE=∠AEO
∴OE∥AF
∵DE⊥AF,∴OE⊥DE
∴DE是⊙O的切线
(2)①解:连接BE
∵直径AB ∴∠AEB=90°
∵圆O与BC相切
∴∠ABC=90°
∵∠EAB+∠EBA=∠EBA+∠CBE=90°
∴∠EAB=∠CBE
∴∠DAE=∠CBE
∵∠ADE=∠BEC=90°
∴△ADE∽△BEC
∴
②连接OF,交AD于H,
由①,设BC=2x,则AE=3x
∵△BEC∽△ABC ∴
∴
解得:x1=2,(不合题意,舍去)
∴AE=3x=6,BC=2x=4,AC=AE+CE=8
∴AB=,∠BAC=30°
∴∠AEO=∠EAO=∠EAF=30°,∴∠FOE=2∠FAE=60°
∴∠FOE=∠FOA=60°,连接EF,则△AOF、△EOF都是等边三角形,∴四边形AOEF是菱形
由对称性可知GO=GF,过点G作GM⊥OE于M,则GM=EG,OG+EG=GF+GM,根据两点之间线段最短,当F、G、M三点共线,OG+EG=GF+GM=FM最小,此时FM=FOsin60o=3.
故OG+EG最小值是3.
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【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(1,0)、C(﹣2,3)两点,与y轴交于点N,其顶点为D.
(1)求抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标;
(3)在对称轴上是否存在一点M,使△ANM的周长最小.若存在,请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图1,AB为半圆O的直径,D为BA的延长线上一点,DC为半圆O的切线,切点为C.
(1)求证:∠ACD=∠B;
(2)如图2,∠BDC的平分线分别交AC,BC于点E,F;
①求tan∠CFE的值;
②若AC=3,BC=4,求CE的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l的函数表达式为y=x,点O1的坐标为(1,0),以O1为圆心,O1O为半径画半圆,交直线l于点P1,交x轴正半轴于点O2,由弦P1O2和围成的弓形面积记为S1,以O2为圆心,O2O为半径画圆,交直线l于点P2,交x轴正半轴于点O3,由弦P2O3和围成的弓形面积记为S2,以O3为圆心,O3O为半径画圆,交直线l于点P3,交x轴正半轴于点O4,由弦P3O4和围成的弓形面积记为S3;…按此做法进行下去,其中S2018的面积为__________.
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【题目】如图所示,直线y=x与反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象交于点Q(4,a),点P(m,n)是反比例函数图象上一点,且n=2m.
(1)求点 P坐标;
(2)若点M在x轴上,使得△PMQ的面积为3,求M坐标.
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【题目】(问题解决)
一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图1,点P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3.你能求出∠APB的度数吗?
小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:
思路一:将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP′A,连接PP′,求出∠APB的度数;
思路二:将△APB绕点B顺时针旋转90°,得到△CP'B,连接PP′,求出∠APB的度数.
请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.
(类比探究)
如图2,若点P是正方形ABCD外一点,PA=3,PB=1,PC=,求∠APB的度数.
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【题目】在平面直角坐标系中,我们定义直线为抛物线、b、c为常数,的“梦想直线”;有一个顶点在抛物线上,另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”.
已知抛物线与其“梦想直线”交于A、B两点点A在点B的左侧,与x轴负半轴交于点C.
填空:该抛物线的“梦想直线”的解析式为______,点A的坐标为______,点B的坐标为______;
如图,点M为线段CB上一动点,将以AM所在直线为对称轴翻折,点C的对称点为N,若为该抛物线的“梦想三角形”,求点N的坐标;
当点E在抛物线的对称轴上运动时,在该抛物线的“梦想直线”上,是否存在点F,使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点E、F的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知AB是半圆O的直径,OC⊥AB交半圆于点C,D是射线OC上一点,连结AD交半圆O于点E,连结BE,CE.
(1)求证:EC平分∠BED.
(2)当EB=ED时,求证:AE=CE.
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【题目】如图,已知二次函数的图象与轴交于点(-1,0),与轴的交点在(0,-2)和(0,-1)之间(不包括这两点),对称轴为直线,下列结论不正确的是( )
A.B.C.D.
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