Question

【题目】（问题解决）

一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？

小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；

思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP′，求出∠APB的度数．

请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．

（类比探究）

如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC=，求∠APB的度数．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；

（2）同（1）的思路一的方法即可得出结论．

（1）如图1，

将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，

∴△ABP'≌△CBP，

∴∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，

在Rt△PBP'中，BP=BP'=2，

∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=BP=2，

∵AP=1，

∴AP2+PP'2=1+8=9，

∵AP'2=32=9，

∴AP2+PP'2=AP'2，

∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，

∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°；

（2）如图2，

将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，

∴△ABP'≌△CBP，

∴∠PBP'=90°，BP'=BP=1，AP'=CP=，

在Rt△PBP'中，BP=BP'=1，

∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=BP=，

∵AP=3，

∴AP2+PP'2=9+2=11，

∵AP'2=（）2=11，

∴AP2+PP'2=AP'2，

∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，

∴∠APB=∠APP'﹣∠BPP'=90°﹣45°=45°．