Question

【题目】定义：若点P为四边形ABCD内一点，且满足∠APB+∠CPD=180°， 则称点P为四边形ABCD的一个“互补点”．

（1）如图1，点P为四边形ABCD的一个“互补点”，∠APD=63°，求∠BPC的度数．

（2）如图2，点P是菱形ABCD对角线上的任意一点．求证：点P为菱形ABCD的一个“互补点”．

Answer 1

【答案】（1）117°；（2）证明见解析.

【解析】（1）根据点P为四边形ABCD的一个“互补点”的定义，可得出∠APD+∠BPC=180°，从而可求出结果；

（2）根据菱形的性质可证得AB=BC，∠ABP=∠CBP，再证明△ABP≌△CBP，可证得∠1=∠3，同理得出∠2=∠4，然后证明∠1+∠2=180°，即可求证.

（1）∵点P为四边形ABCD的一个“互补点”，∠APD=63°

∴∠APD+∠BPC=180°

∴∠BPC=180°-63°=117°

（2）证明：如图，连接AP、PC

∵菱形ABCD

∴AB=BC，∠ABP=∠CBP

∵BP=BP

∴△ABP≌△CBP（SAS）

∴∠1=∠3

同理∠2=∠4

∵∠1+∠3+∠2+∠4=360°

∴2∠1+2∠2=360°

∴∠1+∠2=180°

∴点P为菱形ABCD的一个“互补点” .