Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，线段AB为半圆O的直径，将Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，DF与BC交于点H，则Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分的面积为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,平移的性质

专题：

分析：连接OG，先根据勾股定理计算出BC=5，再根据平移的性质得AD=BE，DF=AC=6，EF=BC=10，∠EDF=∠BAC=90°，由于EF与半圆O相切于点G，根据切线的性质得OG⊥EF，然后证明Rt△EOG∽Rt△EFD，利用相似比可计算出OE=

20

3

，所以BE=OE-OB=

8

3

，然后求出BD的长度，然后利用相似比例式求出DH的长度，从而求出△BDH，即阴影部分的面积．

解答： 解：连结OG，如图，
∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6，
∴BC=

AB2+AC2

=10，
∵Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，
∴AD=BE，DF=AC=6，EF=BC=10，∠EDF=∠BAC=90°，
∵EF与半圆O相切于点G，
∴OG⊥EF，
∵AB=8，线段AB为半圆O的直径，
∴OB=OG=4，
∵∠GEO=∠DEF，
∴Rt△EOG∽Rt△EFD，
∴

OE

EF

=

OG

DF

，即

OE

10

=

4

6

，解得OE=

20

3

，
∴BE=OE-OB=

20

3

-4=

8

3

；
∴BD=DE-BE=8-

8

3

=

16

3

．
∵DF∥AC，
∴△ABC∽△DBH，
∴

DH

AC

=

BD

AB

，即

DH

6

=

16 3

8

，
解得：DH=4．
∴S_阴影=S_△BDH=

1

2

BD•DH=

1

2

×

16

3

×4=

32

3

，
即Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分的面积为

32

3

．
故答案为

32

3

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平移的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质．