Question

【题目】已知，等腰Rt△ABC，在直角边AB的左侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连结BE，CE，其中CE交直线AP于点F.

(1)当∠PAB=29°时，求∠ACE的度数.

(2)当0°<∠PAB<45°时，利用(图1)，求∠BEC度数.

(3)若45°<∠PAB<90°，用等式表示线段AB，FE，FC之间的数量关系，并证明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析

【解析】

（1）由轴对称的性质和等腰三角形的性质得出∠EAP=∠PAB=29°，得出∠EAC=148°，证出AE=AC，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果；

（2）由（1）得：∠EAP=∠PAB，∠AEC=∠ACE，由三角形内角和定理即可得出结论；

（3）作CG⊥AP于G，由AAS证明△ACG≌△BAM，得出CG=AM，证出点A是△BCE的外接圆圆心，由圆周角定理得出，得出△EFM和△CFG是等腰直角三角形，由勾股定理即可得出结论.

（1）由轴对称的性质可得：AE=AB，BM=EM，AM⊥BE，∠AME=∠BMA=90°，

∴∠EAP=∠PAB=29°，

∴∠EAC=90°+2×29°=148°，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=AC，

∴AE=AC，

∴；

（2）由（1）得：∠EAP=∠PAB，∠AEC=∠ACE，

∵∠AEC+∠ACE+∠EAC=180°，

∴∠AEC+∠ACE+2∠EAP =90°

即2∠AEC +2∠EAP =90°

∴∠EAP +∠AEC =45°

∴∠EFM =45°

∴∠BEC =45°；

（3）如图2所示：作CG⊥AP于G

则，

∵，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∵，

∴点是的外接圆圆心，

∴，

∴，

∴和是等腰直角三角形，

∴，，

∵，

∴.