Question

如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．则下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S_△EGC=S_△AFE；⑤∠AGB+∠AED=135°．其中正确的个数是（　　）

• A、5
• B、4
• C、3
• D、2

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：结合条件可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，在Rt△EGC中由勾股定理可求得BG=CG=3，BG+CG=6，满足条件，利用外角的性质可求得∠AGB=∠GCF，可得AG∥CF，可求得S_△EGC=S_△AFE=6，利用多边形的内角和可求得2∠AGB+2∠AED=270°，可得∠AGB+∠AED=135°，所以五个结论都正确．

解答：解：由题意可求得DE=2，CE=4，AB=BC=AD=6，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴∠AFE=∠ADE=∠ABG=90°，AF=AD=AB，EF=DE=2
在Rt△ABG和Rt△AFG中

AB=AF AG=AG

，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴①正确；
∴BG=GF，∠BGA=∠FGA，
设BG=GF=x，若BG=CG=x，在Rt△EGC中，EG=x+2，CG=x，CE=4，由勾股定理可得（x+2）²=x²+4²，
解得x=3，此时BG=CG=3，BG+CG=6，满足条件，
∴②正确；
∵GC=GF，
∴∠GFC=∠GCF，
且∠BGF=∠GFC+∠GCF=2∠GCF，
∴2∠AGB=2∠GCF，
∴∠AGB=∠GCF，
∴AG∥CF，
∴③正确；
∵S_△EGC=

1

2

GC•CE=

1

2

×3×4=6，S_△AFE=

1

2

AF•EF=

1

2

×6×2=6，
∴S_△EGC=S_△AFE，
∴④正确；
在五边形ABGED中，
∠BGE+∠GED=540°-90°-90°-90°=270°，
即2∠AGB+2∠AED=270°，
∴∠AGB+∠AED=135°，
∴⑤正确；
∴正确的有五个，
故选A．

点评：本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，利用折叠得到线段相等及角相等、结合多边形内角和及外角性质的运用是解题的关键．