Question

【题目】在△ABC中，以AB边上的中线CD为直径作圆，如果与边AB有交点E（不与点D重合），那么称为△ABC的C﹣中线弧．例如，如图中是△ABC的C﹣中线弧．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC存在C﹣中线弧，其中点A与坐标原点O重合，点B的坐标为（2t，0）（t＞0）．

（1）当t＝2时，

①在点C1（﹣3，2），C2（0，2），C3（2，4），C4（4，2）中，满足条件的点C是　 　；

②若在直线y＝kx（k＞0）上存在点P是△ABC的C﹣中线弧所在圆的圆心，其中CD＝4，求k的取值范围；

（2）若△ABC的C﹣中线弧所在圆的圆心为定点P（2，2），直接写出t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①C2，C4；②且k≠1；（2）且t≠2．

【解析】

（1）①先确定出点C的横坐标的范围即可得出结论；

②先确定出分界点点P，P'的坐标，即可得出结论；

（2）表示出点D的坐标，再分点E在线段AD和BD上，求出AE，利用0≤AE≤2t，且AE≠t，即可得出结论．

解：（1）当t＝2时，点B的坐标为（4，0），

∵点D是AB的中点，∴D（2，0），

①如图1，

过点C作CE⊥AB于E，则∠CED＝90°，

∴CE⊥AB，

即点C和点E的横坐标相同，

∵点E是以CD为直径与边AB的交点，

∴0≤AE≤4，

∵点E与点D重合，

∴AE≠2，

∴点E的横坐标大于等于0小于等于4，且不等于2，

即点E的横坐标大于等于0小于等于4，且不等于2，

∵点C1（﹣3，2），C2（0，2），C3（2，4），C4（4，2），

∴只有点C2，C4的横坐标满足条件，

故答案为C2，C4；

②∵△ABC的中线CD＝4，

∴点C在以点D为圆心4为直径的弧上，

由①知，点C的横坐标大于等于0小于等于4，且不等于2，

∴点C在如图2所示的 上（点H（2，4）除外），

∵点P是以CD为直径的圆的圆心，

∴点P在如图2所示的上（点G（2，2）除外），

在Rt△OAM中，AD＝2，MD＝4，

根据勾股定理得，AO＝2，

∴C（0，2），

同理：C'（4，2），

∵点P是DC的中点，

∴P（1，），

同理：点P'（3，），

当直线y＝kx过点P（1，）时，得k=，

当直线y＝kx过点P'（3，）时，得，

当直线y＝kx过点G（2，2）时，得k＝1，

结合图形，可得k的取值范围是且k≠1；

（2）同（1）①知，点E的横坐标大于等于0小于等于2t，且不等于t，

∵点D是AB的中点，且B（2t，0），

∴D（t，0），

当点E在线段AD上时，AE＝t﹣2（t﹣2）＝﹣t+4≥0，

∴t≤4，

当点E在线段BE上时，AE＝2（2﹣t）+t≤2t，

∴t≥，

∴且t≠2．