Question

【题目】如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点E．

（1）求证：PC是⊙O的切线．

（2）若∠ABC＝60°，AB＝2，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）﹣．

【解析】

（1）连接OC，如图，根据切线的性质得到∠PAB=90°，再根据垂径定理得到CD=AD，则OD垂直平分AC，所以PA=PC，利用等腰三角形的性质得到∠OCA+∠PCA=∠OAC+∠PAC=90°，然后根据切线的判定方法可判断PC是⊙O的切线；

（2）先证明△OBC为等边三角形得到∠BOC=60°，再计算出，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积=S△OCE-S扇形BOC进行计算．

（1）证明：如图，连接OC，

∵PA为⊙O的切线，

∴PA⊥OA，

∴∠PAB＝90°，

∵OD⊥AC，

∴CD＝AD，

∴OD垂直平分AC，

∴PA＝PC，

∴∠PCA＝∠PAC，

而OC＝OA，

∴∠OCA＝∠OAC，

∴∠OCA+∠PCA＝∠OAC+∠PAC＝90°，即∠POC＝90°，

∴OC⊥PC，

∴PC是⊙O的切线；

（2）解：∵OB＝OC，∠OBC＝60°，

∴△OBC为等边三角形，

∴∠BOC＝60°，

∴CE＝OC＝，

∴图中阴影部分的面积＝S△OCE﹣S扇形BOC

＝×1×﹣

＝﹣．