Question

5．[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x-[x]，已知3[x]-17{x}=2012，那么满足条件的x的和是4014．

Answer 1

分析 根据[x]表示不超过x的最大整数可知，3[x]为整数，则17{x}为整数；无论x是正数还是负数，x-[x]必然为非负数，2012除以3余数为2，则17{x}除以3的余数是1，可求出17{x}的取值为1、4、7、10、13、16，代入3[x]-17{x}=2012即可求出17{x}的取值，从而求出{x}的值，再代入3[x]-17{x}=2012即可求出[x]，利用x=[x]+{x}即可求出x的值，相加即可．

解答 解：∵17{x}必为整数，且除以3的余数是1，同时0≤17{x}＜17；
∴17{x}的取值为1、4、7、10、13、16，
即：{x}为$\frac{1}{17}$、$\frac{4}{17}$、$\frac{7}{17}$、$\frac{10}{17}$、$\frac{13}{17}$、$\frac{16}{17}$；
相应地，[x]依次为：671、670、669、668、667、666；
∴x=[x]+{x}；
∴满足条件的x的和为（671+666）×3+3=4014．
故答案为4014．

点评 本题考查了取整计算，根据题意弄清取整的意义，结合除法运算，利用余数即可解答．