Question

6．如果关于x的一元二次方程x²+2（k+3）x+k²+3=0有两个实数根α，β，那么（α-1）²+（β-1）²的最小值是多少？

Answer 1

分析 根据根与系数的关系得到α+β=-2（k+3），αβ=k²+3，结合根的判别式得到k的取值范围，所以将其代入所求的代数式得到：（α-1）²+（β-1）²=（α+β）²-2（α+β）-2αβ+2=2（k+7）²-48，根据二次函数在定义域内的最值的求法进行解答．

解答 解：∵x²+2（k+3）x+k²+3=0有两个实数根α，β，
∴α+β=-2（k+3），αβ=k²+3，△=4（k+3）²-4（k²+3）≥0，
解得k≥-1．
∴（α-1）²+（β-1）²
=α²-2α+1+β²-2β+1，
=（α+β）²-2（α+β）-2αβ+2，
=4（k+3）²+4（k+3）-2（k²+3）+2，
=2k²+28k+44，
=2（k+7）²-54，
当k=-1时，（α-1）²+（β-1）²的最小值是：2（-1+7）²-54=18．

点评 本题考查了根与系数的关系，二次函数的最值．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．