Question

11．已知二次函数y=x²-2ax+3
（1）当x≥-2时，y随x的增大而增大，试求a的范围；
（2）当2＜x＜4时，y＜0都成立，试求a的范围；
（3）当-1＜x＜4时，y＞0都成立，试求a的范围．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解；
（2）把x=2和x=4代入y=x²-2ax+3，由y＜0都成立，列不等式组即可解答；
（3）把x=-1和x=4代入y=x²-2ax+3，由y＞0都成立，列不等式组即可解答．

解答 解：（1）抛物线的对称轴为直线x=a，
∵当x≥-2时，y的值随x值的增大而增大，
∴a≤-2，
（2）∵当2＜x＜4时，y＜0都成立，
∴当x=2时，y=4-4a+3=7-4a≤0，
解得：a≥$\frac{7}{4}$；
当x=4时，y=16-8a+3=19-8a≤0，
解得：a≥$\frac{19}{8}$；
∴a≥$\frac{19}{8}$；
（3）∵-1＜x＜4时，y＞0都成立，
∴当x=-1时，y=1+2a+3=4+2a≥0，
解得：a≥-2，
当x=4时，y=16-8a+3=19-8a≥0，
解得：a≤$\frac{19}{8}$，
∴-2≤a≤$\frac{19}{8}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性，根据自变量的取值范围以及函数值与0的关系列出不等式（组）是解决问题的关键．