Question

16．如图，点P（m，n）是直线y=-x+8上的动点，点A的坐标为（6，0），以PA为对角线，作面积为S的平行四边形OPQA．
（1）求S与m的函数关系式；
（2）当四边形OPQA为矩形时，求n的值；
（3）当S=6$\sqrt{2}$+24时，证明四边形OPQA是菱形．

Answer 1

分析 （1）点P（m，n）是直线y=-x+8上的动点，所以n=-m+8，然后根据平行四边形的面积=底×高列出函数关系是即可；
（2）当四边形OPQA为矩形时，则∠POA=90°，故此点P在y轴上，令x=0得y=8，从而可求得n=8；
（3）将S=6$\sqrt{2}$+24，代入S与t的关系式，即可求得m的值，然后可求得n，根据勾股定理可求得OP=6，从而可证明四边形为菱形．

解答 解：（1）令y=0得：-x+8=0，解得x=8．
∵点P（m，n）是直线y=-x+8上的动点，
∴n=-m+8．
当m＜8时，S=6×（-m+8）=-6m+48；
当m＞8时，S=6×（m-8）=6m-48；
∴S与m的函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{-6m+48（m＜8）}\\{6m-48（m＞8）}\end{array}\right.$
（2）当四边形OPQA为矩形时，则∠POA=90°，
∴点P在y轴上．
令x=0得y=8，
∴点P的坐标为（0，8）．
∴n=8．
（3）将S=6$\sqrt{2}$+24，代入S=6×（8-m）得：6×（8-m）=6$\sqrt{2}$+24．
解得；m=4-$\sqrt{2}$，则n=4+$\sqrt{2}$，
∴点P的坐标为（4-$\sqrt{2}$，4$+\sqrt{2}$）．
∴PO=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}=6$．
∴OP=OA．
又∵四边形OPQA为平行四边形，
∴四边形OPQA为菱形．

点评 本题主要考查的是一次函数与平行四边形、菱形、矩形的综合应用，熟练掌握矩形、菱形的性质是解题的关键．