Question

【题目】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1cm/s；过点P作PD∥AB，交AC于点D，同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接PQ．设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题：

（1）当t为何值时，四边形ADPQ为平行四边形？
（2）设四边形ADPQ的面积为y（cm2），试确定y与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S四边形ADPQ：S△PQB=13：2？若存在，请说明理由，若存在，求出t的值，并求出此时PQ的距离．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，

∴AB= =5cm，

∵PD∥AB，

∴当PQ∥AC时，四边形ADPQ是平行四边形，

∴ = ，即 = ，

解得，t= ，

答：当t= 时，四边形ADPQ为平行四边形

（2）

解：过点P作PE⊥AB，垂足为E，

∵∠PEB=∠C=90°，

∠B=∠B，

∴△BPE∽△BCA，

∴ = ，即 = ，

解得，PE= t，

∵PD∥AB，

∴∠DPC=∠B，

∠C=∠C，

∴△CPD∽△CBA，

∴ = ，即 = ，

解得，PD= ，

∴y=S四边形ADPQ= ×（PD+AQ）×PE

= ×（ +2t）× t

= t2+ t

（3）

解：若存在某一时刻，使S四边形ADPQ：S△PQB=13：2，

则y= S△PQB

∵S△PQB= QB×PE=﹣ t2+ t，

∴ t2+ t= （﹣ t2+ t），

解得，t1=0（舍去），t2=2，

则t为2s时，S四边形ADPQA：S△PQB=13：2，

当t=2时，BP=2，BQ=5﹣4=1，

作QH⊥BC于H，

则QH= ，BH= ，

∴PH= ，

则PQ= = ．

【解析】（1）根据勾股定理求出AB，根据平行四边形的性质得到PQ∥AC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；（2）过点P作PE⊥AB，证明△BPE∽△BCA，根据相似三角形的性质求出PE、PD，根据梯形的面积公式计算即可；（3）根据题意列出一元二次方程，解方程求出t，根据相似三角形的性质、勾股定理计算即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的性质的相关知识，掌握对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．