Question

3．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与双曲线$y=\frac{2}{x}$相交于C、D两点，已知直线OC解析式为y=2x，S_△AOD=6，则D点的坐标为（　　）

• A． $（3，\frac{2}{3}）$
• B． $（4，\frac{1}{2}）$
• C． $（5，\frac{2}{5}）$
• D． $（6，\frac{1}{3}）$

Answer 1

分析 设D（a，$\frac{2}{a}$），根据三角形的面积求得A的坐标为（0，$\frac{12}{a}$），联立方程求得C的坐标，然后根据待定系数法求得直线AB为y=（2-$\frac{12}{a}$）x+$\frac{12}{a}$，代入D的坐标，即可求得a的值，从而求得D的坐标．

解答 解：设D（a，$\frac{2}{a}$），
∵S_△AOD=6，
∴$\frac{1}{2}$OA•a=6，
∴OA=$\frac{12}{a}$，
∴A（0，$\frac{12}{a}$），
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=2x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴C（1，2），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=2}\\{b=\frac{12}{a}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2-\frac{12}{a}}\\{b=\frac{12}{a}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=（2-$\frac{12}{a}$）x+$\frac{12}{a}$，
∵D点是直线AB上的点，
∴$\frac{2}{a}$=（2-$\frac{12}{a}$）•a+$\frac{12}{a}$，解得a₁=1，a₂=5，
∴D（5，$\frac{2}{5}$）；
故选C．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求一次函数的解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，利用三角形面积求得A的坐标是解题的关键．