Question

20．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$
（1）求∠ACB的大小；
（2）若AC=20，BD=9，求∠A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似判定△ACD∽△CBD，从而得到对应角相等，即∠A=∠DCB，因为∠A+∠ACD=90°，则可得到∠ACB=90°；
（2）由（1）证得∠ACB=90°，推出△ABC∽△ACD，得到$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$，求出AB=25，于是得到结果．

解答 解：（1）∵CD是边AB上的高，
∴∠CDA=∠CDB，
∵$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，
∴△ACD∽△CBD，
∴∠A=∠DCB，
∵∠A+∠ACD=90°，
∴∠DCB+∠ACD=90°，
即∠ACB=90°；

（2）由（1）证得∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ADC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$，
∴AC²=AB•AD，
即20²=（AD+9）•AD，
解得：AD=16，（负值舍去）
∴AB=25，
∴cos∠A=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{20}{25}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，求锐角三角函数，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．