Question

已知一元二次方程ax²+bx+c=0．
（1）若a=1，b、c是一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次出现的点数，求方程有实数根的概率；
（2）若b=-a，c=a-3，且方程有实数根，求方程至少有一个非负实数根的概率．

Answer 1

考点：列表法与树状图法,根的判别式

专题：

分析：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生所包含的事件数36，满足条件的事件是当a=1时ax²+bx+c=0，变为x²+bx+c=0方程有实数解得b²-4c≥0 显然b≠1，列举出所有的事件，得到概率．
（2）由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是A随机的取实数使方程有实数根，根据一元二次方程判别式得到a的范围，满足条件的事件是使得方程有至少有一个非负实数根，根据对立事件的概率得到结果．

解答：解：（1）列表得：

（1，6）	（2，6）	（3，6）	（4，6）	（5，6）	（6，6）
（1，5）	（2，5）	（3，5）	（4，5）	（5，5）	（6，5）
（1，4）	（2，4）	（3，4）	（4，4）	（5，4）	（6，4）
（1，3）	（2，3）	（3，3）	（4，3）	（5，3）	（6，3）
（1，2）	（2，2）	（3，2）	（4，2）	（5，2）	（6，2）
（1，1）	（2，1）	（3，1）	（4，1）	（5，1）	（6，1）

∴一共有36种情况，
∵a=1，当b²-4ac=b²-4c≥0时，有实根，
∴方程有实数根的有19种情况，
∴方程有实数根的概率为：

19

36

；

（2）∵b=-a，c=a-3，且方程有实数根，
∴a≠0，△=b²-4ac=a²-4a（a-3）≥0，
∴0＜a≤4
∵方程有两个负数根的条件是：a≠0，△=a²-4a（a-3）≥0，

a-3

a

＞0，
∴3＜A≤4
故方程有两个负数根的概率是

4-3

4-0

=

1

4

，
∴方程至少有一个非负实数根的概率为：1-

1

4

=

3

4

．

点评：本题考查列表法与树状图法求概率，一元二次方程实根分布，是一个综合题，解题的关键是对于一元二次方程的解的情况的分析，解题时有一定难度．