Question

2．如图，正方形ABCD中内接正三角形AEF．求证：S_△EFC=S_△ABE+S_△ADF．

Answer 1

分析 首先连接AC，交EF于点G，易证得Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）；继而证得AC垂直平分EF，然后设EC=x，再表示出各三角形的面积，即可证得结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）；
∴BE=DF，
连接AC，交EF于点G，
∵BC=CD，BE=DF
∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF，
又∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．
设EC=x，由勾股定理，得EF=$\sqrt{E{C}^{2}+F{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$x，
由直角三角形斜边上中线的性质可知：CG=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
在Rt△AEG中，AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，
∴AC=AG+CG=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$x，
∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$x，
∴BE=BC-CE=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$x-x=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$x，
∴S_△CEF=$\frac{1}{2}$EC•CF=$\frac{1}{2}$x²，S_△ABE=$\frac{1}{2}$×$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$x×$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$x=$\frac{1}{4}$x²，
∴S_△ADF=S_△ABE=$\frac{1}{4}$x²，
∴S_△ABE+S_△ADF=S_△CEF．

点评 此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．