Question

【题目】已知：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E为BC中点，CF⊥AE于F．

（1）求证：4CE2=BDAB；

（2）若2∠DCF=∠ECF，求cos∠ECF的值；

（3）如图2，DF延长线交BC于G，若AC=BC，EG=1，则DG=　 　．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）利用两组对应角分别相等的两个三角形相似可得△BCA∽△BDC，由相似三角形对应线段成比例的性质可得结论；

（2）过B作BG⊥BC交AE的延长线于G，在AE上取H，使HA=HB，利用ASA可证△ACE≌GBE，由全等三角形的性质及等腰三角形的性质可得BH=BG=HA，设AH=BH=BG=a，HE=b，作MB⊥HG，可用含的代数式表示出EG、HM和MG，由射影定理可得的关系式，根据cos∠ECF=cos∠G=计算即可；

（3）连接DE，延长DG、AC相交于H，由等腰三角形“三线合一”的性质及三角形中位线的性质可得DE=AC，等量代换可得GC长，易知EC长，由等腰直角三角形的性质可得DE长，由勾股定理即可求出DG长.

解：（1）∵CD⊥AB于D，

∴∠BDC=∠ACB=90°．

∵∠DBC=∠ACB，

∴△BCA∽△BDC，

∴，

即BC2=BDAB．

∵E为BC中点，

∴BC=2CE，

∴4CE2=BDAB；

（2）如图1，过B作BG⊥BC交AE的延长线于G，在AE上取H，使HA=HB．

∵∠BEG=∠AEC，∠EBG=∠ACE=90°，BE=EC，

∴△ACE≌GBE(ASA)，

∴∠G=∠EAC，BG=AC，

∵CD⊥AB于D，CF⊥AE于F，

∴∠DCF=∠DAF，∠ECF=∠FAC=∠G，

∴∠BFG=2∠DAC=∠FAC=∠G，

∴BH=BG=HA．

设AH=BH=BG=a，HE=b，

作MB⊥HG，则MH=MG，EG=a+b，HM=MG=b+a，

由射影定理可得，∴，

解得：a=(负值已舍)，∴．

（3）如图2，连接DE，延长DG、AC相交于H，

由射影定理知．

∵AC=BC，CD⊥AB，

∴AD=BD，

∴DE∥AH，

∴DE=AC，，，，

，即，

∴DE=CH，

，

，

，

∴EG=GC，

∴GC=2，

EC=3=BE=DE，

在中，根据勾股定理得DG=，

∴DG=．

故答案为：．