Question

14．某商场购进一批新型的电脑用于出售给与之合作的企业，每台电脑的成本为3600元，销售单价定为4500元，在该种电脑的试销期间，为了促销，鼓励企业积极购买该新型电脑，商场经理决定一次购买这种电脑不超过10台时，每台按4500元销售；若一次购买该种电脑超过10台时，每多购买一台，所购买的电脑的销售单价均降低50元，但销售单价均不低于3900元．
（1）企业一次购买这种电脑多少台时，销售单价恰好为3900元？
（2）设某企业一次购买这种电脑x台，商场所获得的利润为y元，求y（元）与x（台）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．若A企业欲购进一批该新型电脑（不超过25台），则A企业一次性购进多少台电脑时，商场获得的利润最大？
（3）该商场的销售人员发现：当企业一次购买电脑的台数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，商场所获得的利润反而减少这一情况，为使企业一次购买的数量越多，商场所获得的利润越大，商场应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）

Answer 1

分析 （1）根据实际售价=原定售价-因销售数量增多而降低的价格列出方程，解方程可得；
（2）商场所获得的利润为y与x之间的函数关系式应根据售价的不同分三种情况：0≤x≤10、10＜x≤22、x＞22，依据总利润=销售数量×每台的利润列出函数关系式，在以上三种情况中分别结合自变量的取值范围求出最大值，比较后可知；
（3）分析（2）中函数的增减性，确定数量的增多，商场所获得的利润反而减少这一情况属于哪一种情形，根据函数性质找到利润最大时的销售单价．

解答 解：（1）设购买x台时，单价恰为3900元，
则4500-50（x-10）=3900，
解得：x=22
故购买22台时，销售单价恰为3900元；
（2）商场所获得的利润为y元与x（台）之间的函数关系式有如下三种情况：
①当0≤x≤10时，y=（4500-3600）x=900x，
②当10＜x≤22时，y=x[4500-50（x-10）-3600]=-50x²+1300x，
③当x＞22时，y=（3900-3600）x=300x；
商场若要获得最大利润，
①当0≤x≤10时，∵y=900x，y随x增大而增大，
∴当x=10时，y最大且最大值为9000；
②当10＜x≤22时，∵y=-50x²+1300x=-50（x-14）²+9800，
∴当x=14时，y最大且最大值为9800；
③当 22＜x≤25时∵y=300x，y随x增大而增大，
∴当x=25时，y最大且最大值为7500；
∵7500＜9000＜9800，
∴一次性购买14台电脑时，利润最大且为9800元
（3）①当0≤x≤10时  y=900x
∵900＞0，∴y随x增大而增大
②当10＜x≤22时，y=-50x²+1300x=-50（x-14）²+9800，
∵-50＜0，
∴当10＜x≤14时，y随x增大而增大
当14＜x≤22时，y随x增大而减小
∴最低单价应调为4500-50（14-10）=4300元
综上，商场应将最低销售单价调为4300元．

点评 本题主要考查二次函数的实际应用能力，熟知销售问题中关于利润的相等关系是根本，根据售价的不同分不同情况求函数解析式是解题的关键．