Question

【题目】如图，抛物线与轴交于两点和，与轴交于点，点是抛物线上一个动点，过点作轴的垂线，与直线相交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点在直线下方的抛物线上运动时，线段的长度是否存在最大值？存在的话，求出其最大值和此时点的坐标；

（3）若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的所有坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，DE取最大值2， D（2，﹣1）；（3）点D的坐标是（2，﹣1）或或．

【解析】

(1)利用待定系数法求解可得；
(2)设点D坐标为(m，)，则E点的坐标为(m，)，求得DE关于m的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解；

(3)分点D在DE上方和下方两种情况，用的代数式表示出DE的长度，依据DE=2得出关于的方程，解之可得

(1)把点A(1，0)、B(4，0)代入，得：

，

解得，

∴抛物线的解析式是；

(2)存在．

对于二次函数，

令，则，

∴点C的坐标为(0，2)，

设直线BC的解析式为y＝kx+t，

把点B(4，0)，C(0，2)代入y＝kx+t，得：

，

解得，

∴；

设点D的坐标为，则点E的坐标为，

∴，

∴当m＝2时，DE取最大值2，

此时，

∴点D的坐标为(2，﹣1)；

(3)①当D在E下方时，

由(2)得：，

∵点C的坐标为(0，2)，

∴OC＝2，

∵OC∥DE，

∴当DE＝OC时，四边形OCED为平行四边形，

则，

解得m＝2，

此时点D的坐标为(2，﹣1)；

②当D在E上方时，，

同理，当DE＝OC时，四边形OCED为平行四边形，

即，

解得，

∴此时或，

综上所述，点D的坐标是(2，﹣1)或或时，都可以使O，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形．