【题目】如图1,直线交轴于点A,交轴于点C(0,4).抛物线
经过点A,交轴于点B(0,-2).点P为抛物线上一个动点,经过点P作轴的垂线PD,过点B作BD⊥PD于点D,连接PB,设点P的横坐标为.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当△BDP为等腰直角三角形时,求线段PD的长;
(3)如图2,将△BDP绕点B逆时针旋转,得到△BD′P′,且旋转角∠PBP′=∠OAC,当点P的对应点P′落在坐标轴上时,请直接写出点P的坐标.
【答案】(1);(2)当△BPD为等腰直角三角形时,PD的长为.(3),,.
【解析】
试题分析:(1)先求得点A的坐标,再利用待定系数法求抛物线的解析式即可;(2)设点P的横坐标为,可得P(m,),D(m,-2),若△BPD为等腰直角三角形,则PD=BD.分两种情况:①当点P在直线BD的上方时,PD=,再分点P在y轴的左侧和右侧两种情况,列方程求解即可;②当点P在直线BD的下方时,m>0,BD=m,PD=,列方程求解即可;(3)∵∠PBP/=∠OAC,OA=3,OC=4;∴AC=5,∴sin∠PBP/=,cos∠PBP/=,①当点P/落在x轴上时,过点D/作D/N⊥x轴于N,交BD于点M,∠DBD/=∠ND/P/=∠PBP/,如图1,ND/-MD/=2,即×(m2-m)-(-m)=2;如图2,ND/-MD/=2,即×(m2-m)-(-m)=2解得:P(-,)或P(,);②当点P/落在y轴上时,
如图3,过点D/作D/M⊥x轴交BD于点M,过点P/作P/N⊥y轴,交MD/的延长线于点N,∠DBD/=∠ND/P/=∠PBP/,∵PN=BM,即 ×(m2-m)= m∴P(,)
试题解析:(1)由直线过点C(0,4),得n=4,∴.
当y=0时,,解得x=3,∴A(3,0).
∵抛物线经过点A(3,0),B(0,-2),
∴,解得
∴.
(2)设点P的横坐标为,∴P(m,),D(m,-2).
若△BPD为等腰直角三角形,则PD=BD.
①当点P在直线BD的上方时,PD=,
(I)若点P在y轴的左侧,则m<0,BD=-m,
∴,
解得(舍去).
(II)若点P在y轴的右侧,则m>0,BD=m,
∴,
解得.
②当点P在直线BD的下方时,m>0,BD=m,PD=,
∴,
解得.
综上m=.
即当△BPD为等腰直角三角形时,PD的长为.
(3),,.
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【题目】为了解学生的艺术特长发展情况,某校音乐组决定围绕在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中,你最喜欢哪一项活动(每人只限一项)的问题,在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,并将调查结果绘制如下两幅不完整的统计图。
请你根据统计图解答下列问题:
(1)在这次调查中,一共抽查了 名学生。其中喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为 。扇形统计图中喜欢“戏曲”部分扇形的圆心角为 度。
(2)请你补全条形统计图。
(3)若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”项目中任选两项成立课外兴趣小组,请用列表或画树状图的方法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的概率。
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【题目】下列叙述正确的是( )
A. 平分弦的直径必垂直于弦 B. 三角形的外心到三边的距离相等
C. 三角形的内心是三条角平分线的交点 D. 相等的圆周角所对的弧相等
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【题目】
如图,抛物线L: (常数t>0)与x轴从左到右的交点为B,A,过线段OA的中点M作MP⊥x轴,交双曲线于点P,且OA·MP=12.
(1)求k值;
(2)当t=1时,求AB长,并求直线MP与L对称轴之间的距离;
(3)把L在直线MP左侧部分的图象(含与直线MP的交点)记为G,用t表示图象G最高点的坐标;
(4)设L与双曲线有个交点的横坐标为x0,且满足4≤x0≤6,通过L位置随t变化的过程,直接写出t的取值范围.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+2x+6(a≠0)交x轴与A,B两点(点A在点B左侧),将直尺WXYZ与x轴负方向成45°放置,边WZ经过抛物线上的点C(4,m),与抛物线的另一交点为点D,直尺被x轴截得的线段EF=2,且△CEF的面积为6.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)探究:在直线AC上方的抛物线上是否存在一点P,使得△ACP的面积最大?若存在,请求出面积的最大值及此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)将直尺以每秒2个单位的速度沿x轴向左平移,设平移的时间为t秒,平移后的直尺为W′X′Y′Z′,其中边X′Y′所在的直线与x轴交于点M,与抛物线的其中一个交点为点N,请直接写出当t为何值时,可使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.
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