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【题目】如图1,直线轴于点A,交轴于点C(0,4).抛物线

经过点A,交轴于点B(0,-2).点P为抛物线上一个动点,经过点P作轴的垂线PD,过点B作BDPD于点D,连接PB,设点P的横坐标为.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当BDP为等腰直角三角形时,求线段PD的长;

(3)如图2,将BDP绕点B逆时针旋转,得到BDP,且旋转角PBP=OAC,当点P的对应点P落在坐标轴上时,请直接写出点P的坐标.

【答案】(1);(2)当BPD为等腰直角三角形时,PD的长为.(3),,.

【解析】

试题分析:(1)先求得点A的坐标,再利用待定系数法求抛物线的解析式即可;(2)设点P的横坐标为,可得P(m,),D(m,-2),若BPD为等腰直角三角形,则PD=BD.分两种情况:当点P在直线BD的上方时,PD=,再分点P在y轴的左侧和右侧两种情况,列方程求解即可;当点P在直线BD的下方时,m>0,BD=m,PD=,列方程求解即可;(3)∵∠PBP/=OAC,OA=3,OC=4;AC=5,sinPBP/=,cosPBP/=当点P/落在x轴上时,过点D/作D/Nx轴于N,交BD于点M,DBD/=ND/P/=PBP/,如图1,ND/-MD/=2,即×(m2-m)-(-m)=2;如图2,ND/-MD/=2,即×(m2-m)-(-m)=2解得:P(-)或P();当点P/落在y轴上时,

如图3,过点D/作D/Mx轴交BD于点M,过点P/作P/Ny轴,交MD/的延长线于点N,DBD/=ND/P/=PBP/,PN=BM,即 ×(m2-m)= mP(

试题解析:(1)由直线过点C(0,4),得n=4,.

当y=0时,,解得x=3,A(3,0).

抛物线经过点A(3,0),B(0,-2),

,解得

.

(2)设点P的横坐标为,P(m,),D(m,-2).

BPD为等腰直角三角形,则PD=BD.

当点P在直线BD的上方时,PD=,

(I)若点P在y轴的左侧,则m<0,BD=-m,

解得(舍去).

(II)若点P在y轴的右侧,则m>0,BD=m,

解得.

当点P在直线BD的下方时,m>0,BD=m,PD=,

解得.

综上m=.

即当BPD为等腰直角三角形时,PD的长为.

(3),,.

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