Question

已知一个面积为S且边长为1的正六边形，其六条最短的对角线两两相交的交点构成一个面积为A的小正六边形的顶点，则

A

S

=（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  3

• C、

  2

  2

• D、

  3

  2

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：

分析：如图，作辅助线，首先证明△OAB与△OAC均为等边三角形，设便长为λ；借助有关定理分别用关于λ的代数式，求出△OMN、△OAB的面积，即可解决问题．

解答：解：如图，连接OA、OB、OC；OM、ON；
由题意得：∠AOB=∠AOC=

360°

6

=60°，而OA=OB=OC，
∴△OAB与△OAC均为等边三角形，设边长为λ；
∵OB=OC，∠AOB=∠AOC，
∴OA⊥BC，OP=AP=0.5λ；
∵OM=ON，且∠MON=60°，
∴MP=NP，∠MOP=30°；
tan30°=

MP

OP

，MP=

3

6

λ，MN=

3

3

λ；
∴S△OMN=

1

2

MN•OP=

3 λ2

12

；
同理可求S△OAB=

3

4

λ2，
∴

A

S

=

6S△OMN

6S△OAB

=

S△OMN

S△OAB

=

1

3

，
故选B．

点评：该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．