Question

【题目】如图，直线y1=-x+4与双曲线y=（k≠0）交于A、B两点，点A的坐标为（1，m），经过点A的直线y2=x+b与x轴交于点C．

（1）求反比例函数的表达式以及点C的坐标；

（2）点P是x轴上一动点，连接AP，若△ACP是△AOB的面积的一半，求此时点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=，C（-2，0）；（2）P点为（-，0）或（-，0）．

【解析】

（1）把A（1，m）代入y1=-x+4中，求出m的值，即可求出点A的坐标，从而求出反比例函数的解析式和直线AC的解析式，联立反比例和BC直线解析式，即可求出点C的坐标；

（2）连接OA、OB，分别作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，求出△AOB的面积，设P（x，0），根据△ACP是△AOB的面积的一半，列出方程求出x，即可求出P点坐标.

（1）把A（1，m）代入y1=-x+4得，m=-1+4=3，

∴A（1，3），

∵点A在双曲线y=（k≠0）上，

∴k=1×3=3，

∴反比例函数的表达式为y=，

∵直线y2=x+b经过点A，

∴b=2，

∴直线y2=x+2，

令y2=0，求得x=-2，

∴C（-2，0）；

（2）连接OA、OB，分别作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，

由题意得，

解得或，

∴A（1，3），B（3，1），

∴AM=3，BN=1，MN=2，

∴S△AOB=S△AOM+S梯形AMNB-S△BON=S梯形AMNB==4，

设P（x，0），

∴CP=|x+2|，

∴S△ACP==S△AOB，

∴|x+2|=，则x=±-2，

∴x=-或-

∴P点为（-，0）或（-，0）．