Question

【题目】已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于O、B两点，其顶点A坐标为（1，1），点C为抛物线在第四象限内的一点，其坐标为（3，﹣3）．

（1）求抛物线解析式；

（2）点D为抛物线在第三象限内的一点，过点D向x轴作垂线段，垂足为H，是否存在点D使得△DHO与△AOC相似，如果存在，请求出点D坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）点E、F分别为抛物线以及抛物线对称轴上的两动点，请问是否存在以BO为边，B、O、E、F为顶点的平行四边形，如果存在请直接写出点E坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x；（2）存在，D（﹣1，﹣3）；（3）存在，点E的坐标为（﹣1，﹣3）或（3，﹣3）．

【解析】

（1）由题意设出顶点式解析式y＝a（x﹣1）2+1，再将点C代入即可；

（2）设点D的坐标为（m，﹣m2+2m），作DH⊥x轴，垂直为H，连接OD．分别求出AO＝，OC＝3，分两种情况①＝，则＝＝，由HO＝﹣m，HD＝m2﹣2m，可得＝，解得即可；②＝，则＝＝，由HO＝﹣m，HD＝m2﹣2m，可得＝，解得即可；

（3）设点E（a，﹣a2+2a），则F（1，﹣a2+2a），①当OEFB为平行四边形时，OB＝EF，所以1﹣a＝2，则E（﹣1，﹣3）；②当OFEB为平行四边形时，OB＝FE，所以a﹣1＝2，即可得出点E的坐标．

解：（1）由题意可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+1，

∵抛物线经过点C（3，﹣3），

∴﹣3＝a（3﹣1）2+1，

∴a＝﹣1，

∴y＝﹣x2+2x；

（2）设点D的坐标为（m，﹣m2+2m），作DH⊥x轴，垂直为H，连接OD．

∵A（1，1），C（3，﹣3），

∴点A、C分别在一、三象限角平分线与二、四象限角平分线上，

∴∠AOC＝90°，

∴AO＝，OC＝3，

若△DHO与△AOC相似，

∵∠DHO＝∠AOC＝90°，

①＝，

∴＝＝，

∵HO＝﹣m，HD＝m2﹣2m，

∴＝，

解得m＝﹣1或m＝0（舍），

∴D（﹣1，3）；

②＝，

∴＝＝，

∵HO＝﹣m，HD＝m2﹣2m，

∴＝，

解得m＝（舍）或m＝0（舍）；

综上所述：D（﹣1，﹣3）；

（3）存在，点E的坐标为（﹣1，﹣3）或（3，﹣3）．

理由如下：以BO为边，B、O、E、F为顶点的平行四边形，

∴OB∥EF且OB＝EF＝2，

设点E（a，﹣a2+2a），则F（1，﹣a2+2a），

①当OEFB为平行四边形时，OB＝EF，

∴1﹣a＝2，

∴a＝﹣1，

∴E（﹣1，﹣3）；

②当OFEB为平行四边形时，OB＝FE，

∴a﹣1＝2，

∴a＝3，

∴E（3，﹣3）；

综上所述，存在以BO为边，B、O、E、F为顶点的平行四边形，点E的坐标为（﹣1，﹣3）或（3，﹣3）．