Question

【题目】如图1，在中，为锐角，点为射线上一点，联结，以为一边且在的右侧作正方形．

（1）如果，，

①当点在线段上时（与点不重合），如图2，线段所在直线的位置关系为 ，线段的数量关系为 ；

②当点在线段的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；

（2）如果，是锐角，点在线段上，当满足什么条件时，（点不重合），并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①垂直，相等；②见解析;（2）见解析.

【解析】

（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；

（2）过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，于是得到∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，证得AC=AG，根据（1）的结论于是得到结果．

（1）①正方形ADEF中，AD=AF．

∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF．

在△DAB与△FAC中，

，

∴△DAB≌△FAC，

∴CF=BD，∠B=∠ACF，

∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．

故答案为垂直、相等；

②成立，理由如下：

∵∠FAD=∠BAC=90°

∴∠BAD=∠CAF

在△BAD与△CAF中，

∵，

∴△BAD≌△CAF，

∴CF=BD，∠ACF=∠ACB=45°，

∴∠BCF=90°，∴CF⊥BD；

（2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）．

理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC=90°．

∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，

∴∠AGC=90°﹣45°=45°，

∴∠ACB=∠AGC=45°，

∴AC=AG．

在△GAD与△CAF中，，

∴△GAD≌△CAF，

∴∠ACF=∠AGC=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．