Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y₁=x与直线y₂=-x+4相交于点A，直线y₂=-x+4交x轴于点B，动点M在线段OB上以每秒1个单位长度的速度从点B向点O移动，同时动点N以每秒2个单位长度的速度沿折线O-A-B移动，当一个点停止运动时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）是否存在O、A、M、N为顶点的四边形为等腰梯形的情形？若存在，求出直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．
（3）是否存在直线MN与△OAB中的一条边垂直的情形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）根据题意得：，
解得：，
故A的坐标是（2，2），
在y₂=-x+4中令y=0，解得：x=4，故B的坐标是（4，0）；

（2）∵A的坐标是（2，2），B的坐标是（4，0），
∴OA==4，AB==4，
∴OA=AB=OB．即△OAB是等边三角形．
作AD⊥OB于点D，则D的坐标是（2，0），AD=2．OD=BD=2．
当N在边AB上，且MN∥OA时，在O、A、M、N为顶点的四边形是等腰梯形．
设经过t秒变成如图所示，M的坐标是（4-t，0），AN=2t-4，
作NE⊥AD于点E．
则在直角△ANE中，∠NAE=30°，
则NE=AN=t-2，AE=AN•cos30°=（2t-4）=t-2．
故N的横坐标是2+（t-2）=t，纵坐标是2-（t-2）=4-t．
N的坐标是（t，4-t）．
∵MN∥OA，
∴=．
解得：t=．
则M的坐标是（，0）．设直线MN的解析式是y=x+b，则×+b=0，解得：b=-．
故MN的解析式是：y=x-；

（3）当0≤t＜2时，M在BD上，N在OA上，则一定有MN⊥OA，此时，ON=OM，即2t=（4-t），解得：t=；
当t=2时，M在D点，N在A点，此时有MN⊥OB．
当2＜t≤4时，M在OD上，N在AB上，若垂直，一定是MN⊥AB，则NB=MB，即8-2t=t，解得：t=．
总之，t的值是：或2或．
分析：（1）解两直线解析式组成的方程组即可求得A的坐标，在第二条直线的解析式中，令y=0即可求得B的横坐标，从而求得B的坐标；
（2）易证△OAB是等边三角形，利用t表示出M和N的坐标，根据MN∥OA，两直线的斜率相等求得t的值，利用待定系数法求得MN的解析式；
（3）分0≤t＜2和t=2以及2＜t≤4三种情况讨论，根据△ABC是等边三角形可以得到MN与△OAB的边垂直时构成的三角三角形的一个角一定是30°，根据30°角的所对的直角边等于斜边的一半，即可列出方程求得t的值．
点评：本题是待定系数法求函数解析式，等腰梯形的判定以及直角三角形的性质的综合应用，正确分类讨论是关键．