Question

14．如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，BC=2$\sqrt{3}$，CD⊥AB，垂足为点D，CD，CE三等分∠ACB，求△ACE的周长．

Answer 1

分析 通过已知条件可以求得∠ACE=∠ECD=∠BCD=30°，∠ECB=60°，由CD⊥AB，求得∠B=60°，则由直角三角形的两个锐角互余的性质得到∠A=30°，解直角三角形求得AB、AC，即可求得△ACE的周长．

解答 证明：∵∠ACB=90°，CD，CE三等分∠ACB，
∴∠ACE=∠ECD=∠BCD=30°，∠ECB=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴AB=2BC=4$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=6，
∴△ACE的周长=AB+AC+BC=4$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$+6=6$\sqrt{3}$+6．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形等，求得∠A=30°是本题的关键．